← Wróć do kalkulatora

Walidacja modelu — bohr

Model atomu Bohra, poziomy energetyczne En = -13.6/n² eV, serie spektralne

✓
15/15 asercji zdanych
Walidacja: ✓ ZALICZONA
Obliczono: 2026-07-08 03:36:29 UTC · PHP 8.1.2-1ubuntu2.24
Niezmienniki fizyczne i matematyczne
StanAsercjaWynikOczekiwane
✓ Lyman-alpha (n=2→1, H): energia fotonu = 10,2043 eV
NIST ASD: linia Lyman-α wodoru λ = 121,502 nm → E = hc/λ = 10,2043 eV.
 10,2043 eV 10,2043 eV
✓ Lyman-alpha (n=2→1, H): długość fali = 121,502 nm (UV)
NIST ASD: λ(Lyman-α) = 121,567 nm (próżnia); model Bohra daje 121,502 nm.
 121,5023 nm 121,5 nm
✓ Balmer-alfa / H-alfa (n=3→2, H): długość fali ≈ 656 nm (czerwień)
NIST ASD: λ(H-α) = 656,279 nm. Linia widoczna gołym okiem; wyznacza granicę czerwieni widma.
 656,1123 nm 656,11 nm
✓ Balmer-beta (n=4→2, H): długość fali ≈ 486 nm (niebieskozielony)
NIST ASD: λ(H-β) = 486,135 nm. Druga linia serii Balmera, widoczna w widmie mgławic.
 486,0091 nm 486,01 nm
✓ Paschen-alfa (n=4→3, H): długość fali ≈ 1875 nm (podczerwień)
NIST ASD: λ(Paschen-α) = 1875,1 nm. Seria leży w bliskiej podczerwieni; odkryta 1908.
 1 874,6065 nm 1 874,61 nm
✓ Promień orbity n=2 (H): r = 4·a₀ = 2,1168 Å
Def. modelu Bohra: r_n = n²·a₀/Z. Dla n=2, Z=1: r = 4·0,52918 Å = 2,1167 Å.
 2,1167 Å 2,1167 Å
✓ Skalowanie Z²: E(He⁺, n=2→1) = 4 · E(H, n=2→1)
Model Bohra: En = Ry·Z²/n². Dla He⁺ (Z=2) energia proporcjonalna do Z² = 4×.
 4 4
✓ Monotoniczność: wyższy n₂ → większa energia fotonu (seria Lymana, n₁=1)
En ∝ (1/n₁² − 1/n₂²); przy wzroście n₂ drugi człon maleje → różnica rośnie.
 10,204 eV < 12,094 eV < 12,755 eV < 13,061 eV rosnąca kolejność
✓ Monotoniczność: wyższy Z → większa energia fotonu (n=2→1)
En ∝ Z². Dla jonów wodoropodobnych H, He⁺, Be³⁺: energia rośnie z Z².
 10,204 eV < 40,817 eV < 163,268 eV rosnąca kolejność
✓ Kolejność serii: λ(Lyman) < λ(Balmer) < λ(Paschen)
Seria Lymana leży w UV, Balmera w świetle widzialnym, Paschena w podczerwieni.
 121,502 nm < 656,112 nm < 1 874,607 nm rosnąca kolejność
✓ Monotoniczność: wyższy n → większy promień orbity r ∝ n²
r_n = n²·a₀/Z — promień rośnie z kwadratem liczby kwantowej.
 2,117 Å < 4,763 Å < 8,467 Å < 13,229 Å rosnąca kolejność
✓ Energia fotonu zawsze dodatnia (n₂ > n₁ po korekcji)
Model wymusza n₂ = max(n₁+1, round(n₂)) → energia = Ry·Z²·(1/n₁² − 1/n₂²) > 0 zawsze.
 1.88968 eV > 0 eV
✓ Skalowanie promienia Z: r(H,n=3)/r(He⁺,n=3) = 2
r_n = n²·a₀/Z; dla tej samej n stosunek promieni = Z₂/Z₁. He⁺ ma Z=2, H ma Z=1.
 2 2
✓ Granica serii Balmera (n₂→∞): λ → 364,7 nm (n₂=1000 jako przybliżenie)
Granica serii Balmera: E_∞ = Ry/4 = 3,401 eV → λ_lim = 364,70 nm. Dla n₂=1000 błąd < 0,02 nm.
 364,5083 nm 364,5068 nm
✓ Balmer n=5→2 (linia Hε): długość fali w zakresie widzialnym (380–780 nm)
Wszystkie pierwsze linie serii Balmera (n=3,4,5,6→2) leżą w świetle widzialnym lub bliskim UV.
 433.9 nm 380–780 nm
Porównanie z benchmarkami

Punkty referencyjne sprawdzają, czy model Bohra poprawnie odtwarza serie Lymana, Balmera i Paschena oraz granicę serii.

BenchmarkModelReferencjaBłądOcena
Lyman-alpha wodoru: energia fotonu
Przejście n=2→1 w atomie wodoru, wartość zgodna z NIST ASD w granicach modelu Bohra.
 10.2043 eV 10.2043 eV -0.000% ✓ doskonały (≤5%)
Lyman-alpha wodoru: długość fali
Kontrola przeliczenia energii na długość fali w UV.
 121.502 nm 121.5 nm +0.002% ✓ doskonały (≤5%)
Balmer H-alpha: długość fali
Najważniejsza widzialna linia wodoru; benchmark sprawdza serię Balmera.
 656.112 nm 656.11 nm +0.000% ✓ doskonały (≤5%)
Paschen-alpha: długość fali
Kontrola serii podczerwonej.
 1874.61 nm 1874.61 nm -0.000% ✓ doskonały (≤5%)
Granica serii Balmera
n₂=1000 jest praktycznym przybliżeniem granicy n₂→∞.
 364.508 nm 364.507 nm +0.000% ✓ doskonały (≤5%)
Kontekst metodologiczny: Walidacja dotyczy modelu wodoropodobnego, a nie pełnej spektroskopii wieloelektronowej. Dla wodoru model Bohra daje bardzo dobre wartości linii, a różnice względem NIST wynikają głównie z dokładniejszych stałych, masy zredukowanej i konwencji powietrze/próżnia.
Zakres walidacji

Model implementuje: Model atomu Bohra, poziomy energetyczne En = -13.6/n² eV, serie spektralne.

Pełny zestaw testów (regresja, renderowanie) w public/kalkulatory/tests/. Uruchamianie: php public/kalkulatory/tests/run.php