Sekcja 3.0 Materia, energia i hydrodynamika promieniowania

Nuclear Weapons Frequently Asked Questions

Wersja 2.17: 5 grudnia 1997

Ten artykuł jest dziełem pochodnym (tłumaczeniem na język polski wzbogaconym o szereg dodatkowych materiałów z polskich uczelni technicznych) znakomitego Nuclear Weapons FAQ autorstwa Carey Sublette. Oto pełne zastrzeżenie licencyjne oryginalnej wersji angielskiej:

COPYRIGHT CAREY SUBLETTE

This material may be excerpted, quoted, or distributed freely provided that attribution to the author (Carey Sublette) and document name (Nuclear Weapons Frequently Asked Questions or NWFAQ) is clearly preserved. I would prefer that the user also include the URL of the source.

Only authorized host sites may make this document publicly available on the Internet through the World Wide Web, anonymous FTP, or other means.

Unauthorized host sites are expressly forbidden. This restriction is placed to allow me to maintain version control.

The only authorized host site for the NWFAQ in English is the Nuclear Weapons Archive:
http://nuclearweaponsarchive.org

3.0 Materia, energia i hydrodynamika promieniowania

Ta sekcja daje tło dla podstawowych zjawisk fizycznych rządzących projektowaniem broni jądrowej, zwłaszcza termojądrowej. Nie dotyczy samej fizyki jądrowej, która została wprowadzona w sekcji 2 i jest dalej rozwijana w sekcji 4. Zamiast tego opisuje zachowanie materii przy wysokich gęstościach i temperaturach oraz prawa rządzące jej przepływem.

Choć czytelnik może śledzić rozważania o fizyce i konstrukcji z sekcji 4 także bez tej części, znajomość omówionych tu zasad jest konieczna, jeśli celem jest rzeczywiste zrozumienie konstrukcji broni jądrowej. Te same prawa pojawiają się wielokrotnie w różnych kontekstach, a tłumaczenie fizyki podstawowej przy okazji rozważań inżynieryjnych byłoby niewygodne, dlatego poniżej zebrano przegląd niejądrowych zasad fizycznych. Sekcja 2 zawiera omówienie reakcji jądrowych.

Czytelnicy z solidnym przygotowaniem fizycznym mogą uznać część tego wywodu za zbyt elementarną. To zamierzone; niektóre fragmenty można po prostu pominąć.

Spis treści

  1. 3.1 Termodynamika i własności gazów
  2. 3.2 Własności materii
  3. 3.3 Oddziaływanie promieniowania i materii
  4. 3.4 Hydrodynamika
  5. 3.5 Hydrodynamika promieniowania
  6. 3.6 Fale uderzeniowe w układach niejednorodnych
  7. 3.7 Zasady implozji
  8. 3.8 Niestabilności

3.1 Termodynamika i własności gazów

Termodynamika zajmuje się statystycznym zachowaniem dużych zbiorów cząstek, na przykład makroskopowej ilości materii. Dosłowne odczytanie nazwy sugeruje „ruch ciepła”, ale termodynamika dotyczy ściśle stanu równowagi cieplnej, czyli sytuacji, w której przepływ ciepła ustał. Głównym przedmiotem zainteresowania jest zrandomizowany ruch samych cząstek, który daje zjawisko nazywane „ciepłem”. Ten właśnie stan równowagi losowego ruchu daje się dobrze opisać metodami statystycznymi. Warto pamiętać, że termodynamika jest badaniem własności materii nie mniej niż samego ciepła.

Istnieją dwie fundamentalne zasady termodynamiki, zwane pierwszą i drugą zasadą:

  1. całkowita energia we wszechświecie jest stała;
  2. entropia wszechświata zawsze rośnie.

Bardziej użyteczna forma pierwszej zasady w praktyce mówi, że zmiana całkowitej energii układu jest równa pracy wykonanej nad układem plus ciepłu dostarczonemu do układu. Druga zasada mówi, że ilość ciepła w układzie zamkniętym nigdy samorzutnie nie maleje. Konsekwencje tych praw zostaną jeszcze omówione.

3.1.1 Kinetyczna teoria gazów

Stan gazowy jest najprostszą formą materii do analizy. To korzystne, bo przy skrajnych warunkach występujących w eksplozjach chemicznych i jądrowych materię zwykle można traktować jak gaz niezależnie od jej pierwotnego stanu i gęstości.

Podstawowe własności gazu można wyprowadzić z ruchu jego cząstek składowych. Ciśnienie wywierane przez gaz na powierzchnię wynika z elastycznych zderzeń atomów lub cząsteczek z tą powierzchnią. Jest ono równe liczbie cząstek uderzających w jednostce czasu pomnożonej przez średni pęd każdej cząstki w kierunku normalnym do powierzchni. Liczba zderzeń w sekundzie jest proporcjonalna do gęstości cząstek gazu rho i średniej prędkości cząsteczek v:

Równanie 3.1.1-1

Średni pęd jest proporcjonalny do v razy masa cząstek m, a więc:

Eq. 3.1.1-2

    P ~ rho*v*v*m

Dokładniej:

Eq. 3.1.1-3

    P = rho*v*v*m/3

ponieważ w trzech wymiarach wkład składowej normalnej do powierzchni stanowi 1/3 kwadratu prędkości.

Ponieważ v*v*m/2 jest energią kinetyczną cząstki KE_p, można też napisać:

Eq. 3.1.1-4

    P = rho*KE_p*(2/3)

czyli ciśnienie jest proporcjonalne do średniej energii kinetycznej cząstek i do ich gęstości, albo równe 2/3 całkowitej energii kinetycznej KE w danej objętości gazu:

Eq. 3.1.1-5

     P = 2/3(KE/V)

     PV = 2/3 KE

Temperatura to po prostu średnia energia kinetyczna cząstek gazu. Współczynnik proporcjonalności przelicza energię kinetyczną, mierzoną w dżulach lub ergach, na stopnie Kelvina. Otrzymujemy w ten sposób prawo gazu doskonałego:

Eq. 3.1.1-6

     PV = NkT

gdzie P to ciśnienie, V objętość, N liczba cząstek, k stała Boltzmanna (1.380 x 10^-16 erg/K), a T temperatura. Oczywiście N/V to gęstość cząstek n.

Ponieważ czynnik 2/3 został wchłonięty przez stałą Boltzmanna, średnia energia kinetyczna cząstki wynosi:

Eq. 3.1.1-7

     KE_p = 3/2 kT

Gaz idealny, zwany też doskonałym, to taki, w którym nie ma oddziaływań między atomami ani cząsteczkami. Najprostszym przypadkiem jest gaz doskonały jednoatomowy, czyli taki, w którym cała energia występuje wyłącznie jako ruch cząstek. Hel i argon są bardzo dobrymi przybliżeniami takiego gazu.

Gazy cząsteczkowe lub wieloatomowe mogą magazynować energię dodatkowo w drganiach i obrotach. W innych warunkach gaz może absorbować energię także przez procesy takie jak jonizacja, co łamie zachowanie gazu idealnego. Gdy istotne stają się siły przyciągania, na przykład blisko skraplania lub krzepnięcia, prawo gazu doskonałego także przestaje obowiązywać.

Doskonale gazy jednoatomowe są tu szczególnie ważne, bo w wielu skrajnych reżimach fizycznych wszelka materia zaczyna zachowywać się właśnie w ten sposób: energia kinetyczna dominuje nad pozostałymi formami energii.

3.1.2 Ciepło, entropia i sprężanie adiabatyczne

Najprościej mówiąc, ciepło to losowy ruch cząstek w materii. W codziennym języku wyższa temperatura oznacza, że coś jest „gorętsze”. Temperatura nie jest jednak uniwersalną miarą tego, co nazywamy ciepłem.

Jeśli zamkniemy gaz doskonały w pojemniku i go sprężymy, wykonamy nad nim pracę. Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki ta praca zwiększy energię wewnętrzną gazu. Ponieważ jest to gaz doskonały, cała dodana energia przechodzi w energię kinetyczną cząstek, czyli temperatura rośnie. Ale nie dodaliśmy ciepła w sensie termodynamicznym. Możemy odzyskać tę energię w postaci pracy, pozwalając gazowi się rozprężyć. Temperatura spadnie do stanu początkowego. Taki proces, sprężanie adiabatyczne, jest odwracalny.

Jeśli natomiast chcemy podnieść temperaturę gazu bez zmiany objętości, musimy zetknąć go z czymś cieplejszym. Ciepło przepłynie z obiektu cieplejszego do chłodniejszego. Aby przywrócić gaz do stanu początkowego, musielibyśmy zetknąć go z czymś chłodniejszym niż początkowy stan gazu. Wtedy choć sam gaz wraca do stanu wyjściowego, cały układ już nie: jedno ciało jest chłodniejsze niż było, drugie cieplejsze. To proces nieodwracalny, czyli wzrost entropii.

Temperatura jest więc dobrą miarą ciepła tylko przy stałej objętości. Uogólnioną miarą ciepła jest entropia. Entropię można opisać jako stosunek całkowitej energii układu do jego temperatury. Dodawanie ciepła zwiększa tę wielkość, wykonywanie pracy nad układem nie.

Sprężanie adiabatyczne to sprężanie przy stałej entropii, bez dopływu i odpływu ciepła. Jeśli ciepło przepływa, proces nie jest adiabatyczny i prowadzi do nieodwracalnych zmian.

3.1.3 Równowaga termodynamiczna i ekwipartycja

Przepływ ciepła od ciała cieplejszego do chłodniejszego oznacza, że układ dąży do stanu, w którym wszystkie jego części mają tę samą temperaturę. Wtedy przepływ ciepła ustaje. Taki stan to równowaga termodynamiczna. Im szybciej ciepło może płynąć, tym szybciej równowaga zostaje osiągnięta.

Zasada ta ma charakter bardzo ogólny. Dotyczy nie tylko osobnych obiektów, ale wszystkich części układu. W mieszaninie różnych rodzajów cząstek każdy typ dąży do tej samej temperatury, czyli tej samej średniej energii kinetycznej. Jeśli masy cząstek są różne, ich średnie prędkości również muszą być różne.

W ten sam sposób zastosowaliśmy już zasadę równowagi przy wyprowadzaniu prawa gazu doskonałego: całkowita energia kinetyczna jest po równo rozdzielona między trzy kierunki przestrzenne. Te kierunki to stopnie swobody gazu jednoatomowego. Ponieważ energia kinetyczna cząstki w takim gazie wynosi 3kT/2, każdy stopień swobody daje kT/2 na cząstkę. To samo dotyczy gazów wieloatomowych z dodatkowymi stopniami swobody, na przykład drganiami i obrotami. Gdy są w równowadze, każdy dostępny stopień swobody niesie kT/2. To twierdzenie o ekwipartycji energii.

W praktyce liczba aktywnych stopni swobody w gazie wieloatomowym może silnie zależeć od temperatury z powodów kwantowych. Każdy stopień swobody ma charakterystyczną energię wzbudzenia i jeśli kT/2 jest zbyt małe, wzbudzenie takiego stanu będzie pomijalne.

3.1.4 Relaksacja

Aby układ osiągnął równowagę między różnymi cząstkami i stopniami swobody, energia musi być między nimi wymieniana. Szybkość tej wymiany określa, jak długo trwa dojście do równowagi. Ten czas to czas relaksacji.

Im dalej dany stopień swobody od równowagi, tym szybciej do niej dąży. W pobliżu równowagi tempo spada. Standardowe równanie relaksacji ma postać:

Eq. 3.1.4-1

    dE/dt = (E_eq - E)/t_relax

gdzie E jest bieżącą energią, E_eq energią równowagową, a t_relax czasem relaksacji.

Rozwiązanie daje zanik wykładniczy odchylenia od równowagi:

Eq. 3.1.4-2

    E = E_init*Exp[-t/t_relax] + E_eq*(1 - Exp[-t/t_relax])

Co wyznacza wartość t_relax? Częstość zdarzeń wymiany energii i ich skuteczność.

Dla cząstek o podobnej masie pojedyncze zderzenie może przekazać niemal całą energię kinetyczną. W powietrzu przy zwykłej temperaturze i ciśnieniu taki czas to około 0,1 ns. Przy większej gęstości i temperaturze odległości między zderzeniami są mniejsze, a prędkości większe, więc czas relaksacji maleje.

Jeśli cząstki mają bardzo różne masy, skuteczność zderzenia spada proporcjonalnie do stosunku mas. Dla elektronów i jonów, ponieważ elektron jest około 1836 razy lżejszy od nukleonu, relaksacja elektron-jon jest znacznie wolniejsza niż jon-jon, choć duże prędkości elektronów częściowo to kompensują.

3.1.5 Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Do tej pory mowa była o średniej energii i średniej prędkości cząstek. W rzeczywistości prawie żadna cząstka nie ma dokładnie tej średniej energii. Nawet jeśli początkowo wszystkie cząstki miałyby dokładnie tę samą energię, po jednym czasie relaksacji energia zostałaby silnie przeorganizowana, a po kilku kolejnych powstałby trwały rozkład równowagowy.

Mechanika statystyczna pokazuje, że rozkład energii cząstek w równowadze opisuje prawo Maxwella-Boltzmanna. Krzywa ma kształt zbliżony do dzwonu, ale z wykładniczym ogonem, więc w gazie równowagowym zawsze istnieją zarówno bardzo wolne, jak i bardzo szybkie cząstki.

Rozkład energii ma postać:

Eq. 3.1.5-1

 dN/dE = N*2*Pi*(1/(Pi*kT))^(3/2) Exp(-E/kT) E^(1/2)

gdzie N jest liczbą cząstek. Całka po zadanym zakresie energii daje liczbę cząstek w tym zakresie.

Czynnikiem faktycznie kształtującym rozkład jest Exp(-E/kT), czyli czynnik Boltzmanna. Taki rozkład obowiązuje w gazach, w których żaden stan energetyczny nie ma szczególnego uprzywilejowania statystycznego. To właśnie klasyczny gaz Boltzmanna.

Poniżej wykres rozkładu dla kT = 1:

Rozkład Maxwella-Boltzmanna

Szczyt rozkładu liczby cząstek przypada na energię kT/2, ale szczyt rozkładu gęstości energii, proporcjonalnej do dN*E, przypada na 3kT/2.

3.1.6 Ciepła właściwe i wykładnik termodynamiczny

Prawo gazu doskonałego opisuje gaz przez temperaturę, czyli energię kinetyczną ruchu. Jak opisać gaz przez całkowitą energię wewnętrzną? Dla gazu jednoatomowego to proste, bo energia kinetyczna jest jednocześnie całą energią wewnętrzną:

PV = NkT = 2/3 KE

Jak postąpić z gazami wieloatomowymi? Wprowadza się ciepło właściwe. Istnieją dwie standardowe definicje:

  1. c_v - ciepło właściwe przy stałej objętości,
  2. c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu.

Ich stosunek wyznacza kluczową stałą opisującą własności termodynamiczne gazu, czyli wykładnik termodynamiczny gamma:

Eq. 3.1.6-1

     gamma = c_p/c_v

Dla gazu doskonałego jednoatomowego gamma = 5/3.

Dla takiego gazu mamy:

Eq. 3.1.6-2

     P = 2/3 U/V

To szczególny przypadek prawa ważnego dla wszystkich gazów doskonałych:

Eq. 3.1.6-3

     P = (gamma - 1)*(U/V)

Nazwa „wykładnik adiabatyczny” bierze się stąd, że przy sprężaniu adiabatycznym zachodzi:

Eq. 3.1.6-4

    P(V^gamma) = constant

Im większe gamma, tym trudniej sprężać gaz adiabatycznie. Gaz nieskończenie ściśliwy miałby gamma = 1.

Z liczbą stopni swobody n_f zachodzi zależność:

Eq. 3.1.6-5

     gamma = (2/n_f) + 1

Dla gazu jednoatomowego daje to 5/3, dla gazów dwuatomowych mniej, zależnie od liczby aktywnych stopni swobody.

Jeśli gaz podczas sprężania sam uwalnia energię, na przykład w reakcji chemicznej, jego efektywny gamma rośnie.

Przykładowe wartości:

Tabela 3.1.6-1. Przykładowe wykładniki termodynamiczne

Detonująca mieszanina gazów wybuchowych   2,5-3,0
Gaz doskonały jednoatomowy                1,667
Powietrze                                 1,400
Gaz fotonowy                              1,333
Gaz dwuatomowy w pełni wzbudzony          1,286
Gaz nieskończenie ściśliwy                1,000

3.1.7 Własności promieniowania ciała doskonale czarnego

Równowaga energetyczna obejmuje również promieniowanie. Fotony są stale emitowane i absorbowane przez materię, tworząc w równowadze gaz fotonowy. Ten gaz także ma tę samą temperaturę co reszta układu.

Rozkład energii w gazie fotonowym opisuje statystyka Bosego-Einsteina. Fotony należą do klasy bozonów, które mają tendencję do zajmowania tego samego stanu energetycznego. Gaz fotonowy jest więc gazem Bosego. Czynnik rozkładu ma postać:

1/(Exp(E/kT) - 1)

Stąd bierze się widmo ciała czarnego, którego maksimum zależy od temperatury i przypomina rozkład Maxwella-Boltzmanna. Nazwa „ciało czarne” pochodzi od idealnego modelu absorbera lub szczelnej wnęki energetycznej, hohlraum.

Do gazu fotonowego można zastosować kinetyczną teorię gazów, ale z poprawką: fotony nie mają masy, więc ich pęd wyraża się przez energię:

Eq. 3.1.7-1

    momentum_photon = E_photon/c

co prowadzi do:

Eq. 3.1.7-3

    P_rad = (U_rad/V)/3

Porównując to z równaniem dla gazu doskonałego, dostajemy:

Eq. 3.1.7-4

    gamma_rad = 4/3

Strumień energii z powierzchni wynosi:

Eq. 3.1.7-5

    S = c*(U_rad/V)/4

Zaś gęstość energii promieniowania w równowadze jest proporcjonalna do T^4:

Eq. 3.1.7-6

    U_rad/V = (4*sigma/c)*T^4

To daje prawo Stefana-Boltzmanna:

Eq. 3.1.7-7

    S = sigma*T^4

oraz:

Eq. 3.1.7-8

    P_rad = ((4*sigma)/(3*c))*T^4

Wynika z tego, że przy niskich temperaturach promieniowanie jest pomijalne, ale rośnie bardzo szybko. Przy dostatecznie wysokiej temperaturze staje się dominującą postacią energii.

Jeśli obecne są równocześnie cząstki zwykłe i fotony, całkowite ciśnienie oraz energia są sumą wkładu gazu Boltzmanna i gazu Bosego:

Eq. 3.1.7-10

    P_total = nkT + ((4*sigma)/(3*c))*T^4
Eq. 3.1.7-11

    U_total/V = 3/2 nkT + ((4*sigma)/c)*T^4

Energia fotonu częstotliwości nu wynosi:

Eq. 3.1.7-12

    E_phot = h*nu

Prawo Plancka zapisuje się zwykle jako:

Eq. 3.1.7-13

    dE/dnu = ((8*Pi*h*nu^3)/c^3) * (1/(Exp((h*nu)/kT) - 1))

albo w wygodniejszej tu formie względem energii fotonu:

Eq. 3.1.7-1e

    dE/dE_phot = ((8*Pi*E_phot^3)/(h^3 c^3)) * (1/(Exp(E_phot/kT) - 1))

Maksimum widma wypada przy h*nu_max = 2.822 kT. Połowa energii jest niesiona przez fotony o energii większej niż 3.505 kT, a 10% energii przez fotony powyżej 6.555 kT.

Poniżej widmo Plancka dla 1 keV:

Widmo ciała czarnego

3.2 Własności materii

Do tej pory omówiono gazy. Teraz chodzi o zastosowanie zasad termodynamiki do innych stanów materii oraz o własności, które nie są ściśle termodynamiczne.

3.2.1 Równania stanu

Równanie stanu EOS daje pełny opis własności termodynamicznych substancji, czyli zależności między gęstością, ciśnieniem i energią wewnętrzną. Prawo gazu doskonałego jest szczególnym przypadkiem EOS dla gazów. Uogólniona wersja:

P = (gamma - 1)*(U/V)

obejmuje wszystkie gazy, jeśli przyjmie się odpowiednią wartość gamma.

To nadal za proste dla rzeczywistej materii w szerokim zakresie warunków. Nawet w gazach efektywny gamma może się zmieniać, bo przy wzroście temperatury pojawiają się kolejne stopnie swobody, dysocjacja, jonizacja i inne procesy pochłaniające energię.

3.2.2 Materia skondensowana

Materia skondensowana to ciecze i ciała stałe. Materia nie jest tu gazowa, lecz związana siłami przyciągania międzyatomowego. Przy zerowym ciśnieniu pozostaje w równowadze: ujemne ciśnienie od sił wiążących równoważy dodatnie od odpychania powłok elektronowych i drgań termicznych.

W odróżnieniu od gazów materia skondensowana nie rozpręża się do dowolnie małej gęstości. Ma własną, określoną gęstość przy zerowym ciśnieniu.

3.2.3 Materia w zwykłych warunkach

Przez „zwykłe warunki” rozumiany jest zakres, w którym materia nadal pozostaje skondensowana. Niezależnie od składu, przy dostatecznie wysokim ciśnieniu lub temperaturze materia przestaje być skondensowana i zaczyna zachowywać się jak gaz doskonały.

W rozważanym tu zakresie, obejmującym temperatury do kilkudziesięciu tysięcy stopni i ciśnienia do kilku megabarów, energia cieplna jest nadal mniejsza od energii wiązania i energii sprężania. Materia nie jest wtedy silnie zjonizowana, a jej wytrzymałość mechaniczna jest zwykle pomijalna wobec rozważanych ciśnień.

Przy rosnącym ciśnieniu rośnie też temperatura topnienia. W rejonie megabarowym materia może pozostawać stała nawet przy 20-30 tys. stopni C. Niezależnie od tego, czy stan jest ciekły czy stały, energia topnienia jest tu mała wobec energii sprężania i ogrzewania.

Niektóre materiały przechodzą jednak skokowe przemiany fazowe. Żelazo ma taką przemianę przy 130 kilobarach, a dla projektowania broni szczególnie ważna jest przemiana stopów plutonu z fazy delta do gęstszej fazy alfa przy ciśnieniach rzędu dziesiątek kilobarów.

Przybliżone równanie stanu dla materii skondensowanej można zapisać jako:

Eq. 3.2.3-1

     P + P_0 = (gamma - 1)*U*(rho/rho_0)

Skąd wynika adiabatyczne prawo dla materii skondensowanej:

Eq. 3.2.3-2

     (P + P_0)*(rho_0/rho)^gamma = constant = P_0

oraz energia wewnętrzna na jednostkę masy:

Eq. 3.2.3-3

     E = U/rho_0 = (P + P_0) / ((gamma - 1)*rho)

Wartość gamma musi być wyznaczana doświadczalnie. Dla materii skondensowanej nie jest stała i maleje z ciśnieniem oraz gęstością. Często stosuje się praktyczne przybliżenie:

Eq. 3.2.3-4

     (gamma_0 - 1)*rho_0 = (gamma - 1)*rho

co prowadzi do wygodnej postaci:

Eq. 3.2.3-5

     E = (P + P_0) / G
     gdzie G = (gamma_0 - 1)*rho_0

W literaturze fizyki ciała stałego zamiast gamma - 1 często używa się współczynnika Grüneisena:

Eq. 3.2.3-6

    GAMMA = gamma - 1

Przykładowe parametry:

Tabela 3.2.3-1. Równania stanu typu gamma-law

Materiał                   rho_0   gamma   P_0 (kilobary)
Złoto                      19,24   4,05    510
Aluminium                  2,785   3,13    315
Miedź                      8,90    3,04    575
Detonujący materiał wybuchowy  -   3,0      -
Uran                       18,90   2,90    547
Wolfram                    19,17   2,54    1440
Beryl                      2,865   2,17    604
Lit                        0,534   2,1      -
Cyrkon                     6,49    1,771   580
Gaz doskonały jednoatomowy   -     1,667    -

3.2.4 Materia przy wysokich ciśnieniach

Przy ciśnieniach powyżej kilku megabarów struktura elektronowa atomów zaczyna się załamywać. Siły Coulomba wypychają elektrony zewnętrzne z orbit wokół jąder. Materia zaczyna przypominać jądra atomowe zanurzone w morzu swobodnych elektronów, czyli gaz elektronowy.

Gaz ten podlega prawom kwantowym i jest gazem Fermiego. W przeciwieństwie do bozonów, fermiony nie mogą zajmować tego samego stanu energetycznego. Nawet przy zerze bezwzględnym mają niezerową energię. Jeśli wszystkie elektrony są w najniższych dostępnych stanach, mówimy o zdegenerowanym gazie Fermiego.

Energia Fermiego wynosi:

Eq. 3.2.4-1

  E_Fermi = 5.84 x 10^-27 (n^(2/3)) erg
          = 3.65 x 10^-15 n^(2/3) eV

Średnia energia:

Eq. 3.2.4-2

  E_Favg = 3/5 E_Fermi

Ciśnienie Fermiego:

Eq. 3.2.4-3

  P_Fermi = 2/5 n*E_Fermi
          = 2.34 x 10^-33 (n^(5/3)) bars

Temperatura Fermiego definiowana jest przez:

Eq. 3.2.4-4

  kT_Fermi = E_Fermi

Jeśli temperatura kinetyczna jest dużo mniejsza od T_Fermi, gaz można traktować jako zimny i zdegenerowany.

Przykłady z tekstu źródłowego pokazują, że deuter przy 1000-krotnym zagęszczeniu względem ciekłej gęstości jest już prawdziwym gazem Fermiego. Ciśnienia 10-100 gigabarów są typowe dla warunków potrzebnych do zapłonu syntezy w broni termojądrowej.

Przydatne przybliżenie mówi, że większość pierwiastków ma około 0,5 mola elektronów na gram, czyli około 3,01 x 10^23 elektronów na gram. Dla lekkich pierwiastków jest to dobre przybliżenie, dla bardzo ciężkich liczba elektronów na gram jest o 25-30% mniejsza.

Gdy energia cieplna przekracza energię Fermiego, elektrony znów zachowują się klasycznie, jak gaz Boltzmanna. Dlatego w granicy wysokich energii gamma dąży do 5/3, niezależnie od tego, czy energia ma charakter termiczny czy kwantowy.

Istotnym skutkiem jest jonizacyjne sprężanie. Jeśli dwa sąsiadujące obszary materii o różnej gęstości elektronowej zostaną nagle ogrzane do bardzo wysokiej temperatury, gęstszy, wysoko-Z materiał może rozszerzać się i sprężać materiał lekki, bo po pełnej jonizacji wnosi znacznie większe ciśnienie cząstkowe. To ma praktyczne znaczenie w układach, gdzie uran styka się z wodorkami litu.

3.2.4.1 Teoria Thomasa-Fermiego

Szeroko używany przybliżony opis wysokociśnieniowego EOS to teoria Thomasa-Fermiego z lat 1927-1928. Pomija ona strukturę powłok elektronowych i modeluje materię jako gaz Fermiego elektronów oraz gaz Boltzmanna jąder.

Teoria TF uwzględnia głównie odpychanie gazu elektronowego i ciśnienie termiczne, pomijając siły przyciągania utrzymujące materię skondensowaną. Dlatego jest dobra dopiero przy odpowiednio wysokich ciśnieniach. W Los Alamos używano jej do obliczeń implozji bomby plutonowej.

3.2.5 Materia przy wysokich temperaturach

Jeśli energia cieplna atomów przekroczy energię wiązania i energię sprężania, materia staje się gazem niezależnie od ciśnienia. W silnie sprężonej materii skondensowanej zachodzi to przy temperaturach rzędu kilkudziesięciu tysięcy stopni.

Przy dostatecznie wysokiej temperaturze elektrony zewnętrzne przechodzą na wyższe poziomy albo całkowicie odrywają się od atomu. To jonizacja. Atom z brakującymi elektronami jest jonem, a liczba oderwanych elektronów określa stopień jonizacji.

Pierwsze energie jonizacji dla typowych pierwiastków są rzędu kilku elektronowoltów, ale dla ostatnich elektronów bardzo ciężkich atomów dochodzą do setek keV. Dla wybranych pierwiastków:

Tabela 3.2.5. Przykładowe pierwsze i ostatnie energie jonizacji

Wodór      13,598 eV
Lit         5,39 eV   ostatnia: 122,4 eV
Beryl       9,32 eV   ostatnia: 217,7 eV
Tlen       13,61 eV   ostatnia: 871,1 eV
Uran        6 eV      ostatnia: 115 000 eV
Pluton      6,06 eV   ostatnia: 120 000 eV

Dla ostatniego elektronu obowiązuje proste prawo:

Eq. 3.2.5-1

     E_i_Z = Z^2 * 13.6 eV

Przeciętny stopień jonizacji gazu zależy od energii jonizacji, temperatury i gęstości. W temperaturach rzędu 50-100 mln K, typowych dla bomb rozszczepieniowych, uran i pluton mogą osiągać stopnie jonizacji 80-85.

Każdy oderwany elektron staje się osobną cząstką i otrzymuje własną energię cieplną. W pełni zjonizowanym gazie co najmniej połowa energii cieplnej znajduje się w gazie elektronowym. Zwykły, niezdegenerowany gaz elektronowy ma gamma = 5/3.

Jednak jonizacja i wzrost liczby swobodnych elektronów obniżają efektywne gamma, bo część energii idzie na odrywanie elektronów, a część rozkłada się na większą liczbę nośników energii. Przy wyższych temperaturach, gdy usuwanie kolejnych elektronów staje się coraz trudniejsze, wpływ ten maleje.

Przy bardzo wysokich temperaturach trzeba w EOS uwzględniać promieniowanie, bo jego energia rośnie jak T^4, podczas gdy energia kinetyczna mniej więcej liniowo z temperaturą. W granicy promieniowaniowo zdominowanej gamma = 4/3.

3.3 Oddziaływanie promieniowania i materii

Fotony oddziałują z materią na trzy sposoby: mogą być absorbowane, emitowane albo rozpraszane. Dla fotonów termicznych istotnych dla broni termojądrowej praktycznie wszystkie ważne oddziaływania zachodzą z elektronami.

Mechanizmy dzieli się wygodnie na:

  1. bound-bound - elektron związany przechodzi między poziomami związanymi,
  2. bound-free - jedno ze stanów jest związane, drugie swobodne,
  3. free-free - elektron pozostaje swobodny przez cały proces.

Każdy proces może działać w kierunku prostym i odwrotnym: absorpcja ma swoją emisję odwrotną, rozpraszanie może odbierać lub dodawać energię. To mikroskopowa odwracalność.

W praktyce zamiast śledzić każdy mechanizm osobno, używa się współczynników opisujących własności optyczne ośrodka: absorpcji k_a, rozpraszania k_s, a ich suma daje współczynnik tłumienia:

Eq. 3.3-1

     l_phot = 1/(K*rho) = 1/k

czyli średnią drogę swobodną fotonu.

3.3.1 Równowaga cieplna

W układzie w równowadze działa także zasada detailed balancing: każdy proces jest dokładnie równoważony przez swój proces odwrotny. Dlatego widmo promieniowania w równowadze ma postać widma ciała czarnego niezależnie od szczegółowych mechanizmów emisji i absorpcji.

Mechanizmy te nadal są jednak ważne dla opacitetu, bo przekroje czynne zależą od energii fotonu i od fizyki interakcji.

Przybliżona lokalna równowaga termodynamiczna LTE istnieje tam, gdzie pole promieniowania zmienia się powoli zarówno w przestrzeni, jak i w czasie, oraz gdy ośrodek jest optycznie gruby. Wtedy widmo lokalnego strumienia jest widmem ciała czarnego wyznaczonym przez lokalną temperaturę.

3.3.2 Mechanizmy oddziaływania fotonów

3.3.2.1 Procesy bound-bound

Zachodzą, gdy elektron związany z atomem przechodzi między poziomami energetycznymi przez pochłonięcie albo emisję fotonu. Przekrój absorpcji jest wtedy ogromny, ale tylko przy energii odpowiadającej dokładnie różnicy poziomów. W gorących, gęstych gazach niecałkowicie zjonizowanych absorpcja liniowa może mieć duży udział w opacitecie.

3.3.2.2 Procesy bound-free

Jeśli związany elektron pochłonie foton o energii co najmniej równej energii wiązania, zostaje oderwany. To efekt fotoelektryczny. Proces odwrotny to wychwyt elektronu z emisją fotonu. W nierównowagowym ogrzewaniu materii przez strumień promieniowania fotoabsorpcja często dominuje.

3.3.2.3 Procesy free-free

W gazie całkowicie zjonizowanym pozostają tylko dwa główne mechanizmy: bremsstrahlung i rozpraszanie.

3.3.2.3.1 Bremsstrahlung

Bremsstrahlung oznacza promieniowanie hamowania. Powstaje, gdy elektron jest wyhamowywany lub odchylany przez pole jonu. Proces odwrotny to absorpcja odwrotna. W gazie zjonizowanym jest to kluczowy mechanizm wymiany energii między fotonami a elektronami.

Współczynnik absorpcji ma postać:

Eq. 3.3.2.3.1-1

   k_v = 3.69 x 10^8 (1 - Exp(-h*nu/k*T))(Z^3 * n_i^2)/(T^0.5 * nu^3)

lub względem energii fotonu:

Eq. 3.3.2.3.1-2

   k_v = 2.61 x 10^-35 (1 - Exp(-pe/k*T))(Z^3 * n_i^2)/(T^0.5 * pe^3)

Średni współczynnik absorpcji:

Eq. 3.3.2.3.1-3

   k_1 = 6.52 x 10^-24 (Z^3 * n_i^2)/(T^3.5)

Średnia droga swobodna:

Eq. 3.3.2.3.1-4

   l_1 = 1.53 x 10^23 (T^3.5)/(Z^3 * n_i^2)

Całkowita moc emisji:

Eq. 3.3.2.3.1-5

 e = 1.42 x 10^-27 Z^3 n_i^2 T^0.5 ergs/cm^3-sec

Po uwzględnieniu emisji wymuszonej, Rosselandowska droga swobodna wynosi:

Eq. 3.3.2.3.1-6

   l_R = 4.8 x 10^24 (T^3.5)/(Z^3 * n_i^2)
3.3.2.3.2 Rozpraszanie

Rozpraszanie zwykle zmienia głównie kierunek fotonu, a nie jego energię. W klasycznej granicy mamy rozpraszanie Thomsona:

Eq. 3.3.2.3.2.1-7

   l_s = 1.50 x 10^24 /(Z * n_i)

Przy energiach fotonów porównywalnych z energią spoczynkową elektronu 511 keV pojawia się rozpraszanie Comptona, które staje się energetycznie istotne.

3.3.3 Prawa opacitetu

Całkowity opacitet to suma absorpcji i rozpraszania:

Eq. 3.3.3-1

    k_t = k_a + k_s

Zatem:

Eq. 3.3.3-2

    l_phot = 1/k_t

Praktyczne prawa przybliżone często zapisuje się jako:

Eq. 3.3.3-3

     K = (K_0 * rho^C * T^-m) + K_1

Dla paliw fuzyjnych, zwykle mieszanin wodoru, litu i helu, przy pełnej jonizacji da się łatwo wyprowadzić parametry. Dla materiałów ciężkich, jak węgiel, aluminium, żelazo, ołów, wolfram i uran, trzeba uwzględniać związane elektrony. Dla bardzo ciężkich pierwiastków dokładne wartości są trudne do zdobycia i historycznie bywały utajnione.

Przykładowe parametry z raportów Los Alamos:

Tabela 3.3.4-1. Parametry prawa opacitetu

Pierwiastek   Z   m    C     K_0   K_1
Węgiel        6   4,9  0,92  0,074 0,22
Aluminium    13   5,0  0,93  1,4   0,21
Żelazo       26   2,9  0,62  6,6   0,15
Miedź        29   2,7  0,55  7,0   0,14
Cyrkon       40   1,8  0,72  1,2   0,15

3.3.4 Transport promieniowania

Promieniowanie przepływające przez materię zmienia jej stan: ogrzewa ją lub chłodzi. Jeśli gradienty energii są wystarczająco duże, powstają też gradienty ciśnienia, a z czasem także przepływ hydrodynamiczny.

Gdy wiązka fotonów przechodzi przez warstwę materii, strumień tłumi się wykładniczo:

Eq. 3.3.4-1

    I_x = I_0 * Exp[-x/l_phot]

Energia zdeponowana w cienkiej warstwie:

Eq. 3.3.4-2

    I_x = k_a*dx*I_x_1 = k_a*dx*I_0*Exp[-x_1/l_phot]

Jeśli emisja fotonów przez ośrodek nie jest zaniedbywalna, strumień nie tłumi się do zera, tylko zmierza do stanu równowagi.

3.3.4.1 Dyfuzja promieniowania

W przybliżeniu LTE transport energii opisuje równanie dyfuzji:

Eq. 3.3.4.1-1

     S = -((l_phot*c)/3) * Grad(U)

Dla skali x:

Eq. 3.3.4.1-2

     S = ((l_phot*c)/x) * U

Foton w procesie dyfuzji wykonuje błądzenie losowe i liczba interakcji rośnie jak (x/l_phot)^2. W grubych optycznie ciałach czas dyfuzji może być ogromny, jak w gwiazdach.

3.3.4.2 Przewodzenie cieplne przez promieniowanie

To przybliżenie jest blisko związane z dyfuzją, ale zapisuje transport przez gradient temperatury. Dla klasycznego przewodzenia:

Eq. 3.3.4.2.1-1

     S = -kappa * Grad(T)

Współczynnik dyfuzyjności cieplnej:

Eq. 3.3.4.2.1-2

     chi = kappa/(rho * c_p)

W gazie:

Eq. 3.3.4.2.1-3

     chi = (l_part * v_mean)/3

Rozkład temperatury przy liniowym przewodzeniu:

Eq. 3.3.4.2.1-4

     T = Q * Exp[(-x^2)/(4*chi*t)] / (4Pi * chi * t)^0.5

z

Eq. 3.3.4.2.1-5

     Q = E/(rho*c_p)

lub

Eq. 3.3.4.2.1-6

     Q = E/(rho*c_v)

Głębokość penetracji ciepła:

Eq. 3.3.4.2.1-7

     x ~ (4*chi*t)^(1/2)

Poniżej profil liniowego przewodzenia:

Profil przewodzenia liniowego

W przypadku promieniowania, po podstawieniu gęstości energii ciała czarnego otrzymuje się nieliniowe przewodzenie:

Eq. 3.3.4.2.2-2

     kappa = (16 * l_phot * sigma * T^3)/3

oraz:

Eq. 3.3.4.2.2-3

     c_rad = (16 * sigma * T^3)/c

Ponieważ kappa zależy od temperatury, fala cieplna ma wyraźny front i porusza się z prędkością skończoną. To fala Marshaka.

Jej profil:

Profil fali Marshaka

Przy niskich temperaturach można zapisać:

Eq. 3.3.4.2.2-4

     l_phot = A * T^m
Eq. 3.3.4.2.2-6

     kappa = B*T^n
Eq. 3.3.4.2.2-8

     chi = a * T^n

Profil temperatury za frontem:

Eq. 3.3.4.2.2-10

     T = ((n*v/a) * dx)^(1/n)

Grubość frontu:

Eq. 3.3.4.2.2-11

     dx_f = chi[T_1]/(n*v)

Penetracja:

Eq. 3.3.4.2.2-12

     x_f ~= (a * Q^n * t)^(1/(n+2))

Prędkość:

Eq. 3.3.4.2.2-13

     v ~= (a*Q^n)/X_f^(n+1)

W przypadku stałej temperatury napędzającej:

Eq. 3.3.4.2.2-16

     x ~ (a * T^n * t)^(1/2)

Dla zimnego uranu raport LAMS-364 dawał:

Eq. 3.3.4.2.2-17

     x = 0.107 * T^3 * t^(1/2)

co pokazuje, jak szybko promieniowanie może penetrować materię przy temperaturach rzędu keV.

3.4 Hydrodynamika

Hydrodynamika bada przepływ ściśliwych płynów i zmianę ich stanu. Gdy dodamy do tego transport energii przez promieniowanie, wchodzimy w hydrodynamikę promieniowania.

3.4.1 Fale akustyczne

Każde lokalne zaburzenie ciśnienia, jeśli nie jest zbyt silne, rozchodzi się z prędkością dźwięku c_s:

Eq. 3.4.1-1

     c_s = (gamma*pressure/rho)^0.5 = (gamma*R*T)^0.5

oraz:

Eq. 3.4.1-2

     R = k*n/rho

3.4.2 Fale rozrzedzenia i ściskania

Zaburzenie obniżające ciśnienie to fala rozrzedzenia, podnoszące ciśnienie to fala ściskania. W fali rozrzedzenia prędkość dźwięku za frontem maleje, więc fala ma tendencję do rozciągania się. W fali ściskania prędkość dźwięku za frontem rośnie, więc tylne części doganiają przednie i profil staje się coraz bardziej stromy. Gdy stromość przechodzi w skok, powstaje fala uderzeniowa.

3.4.3 Fale uderzeniowe

Klasyczna fala uderzeniowa to idealizacja, w której ciśnienie zmienia się skokowo. Materia przechodząca przez front doświadcza nagłego wzrostu ciśnienia, gęstości, temperatury i uzyskuje prędkość w kierunku propagacji fali.

W odróżnieniu od ciągłej fali ściskania, fala uderzeniowa zawsze zwiększa entropię.

Schemat klasycznej fali:

Klasyczna fala uderzeniowa

Prędkość fali uderzeniowej D jest zawsze naddźwiękowa względem ośrodka przed frontem i poddźwiękowa względem materii już sprężonej za frontem.

Kluczowe relacje Rankine’a-Hugoniota:

Eq. 3.4.3.1-5a

    u_0*rho_0 = u_1*rho_1
Eq. 3.4.3.1-6

    p_1 - p_0 = u_0*rho_0*(u_0-u_1) = D*rho_0*u_p
Eq. 3.4.3.1-7

    E_1 - E_0 = 1/2 (u_0^2 - u_1^2)

oraz wygodna forma:

Eq. 3.4.3.1-8

    E_1 - E_0 = 1/2 (p_1 + p_0)(v_0 - v_1)

Maksymalne sprężenie dla gazu doskonałego:

Eq. 3.4.3.1-3

    rho_1/rho_0 = (gamma + 1)/(gamma - 1)

Dla gazu jednoatomowego daje to 4.

Zależność dla prędkości cząstek:

Eq. 3.4.3.1-4

     u_p = D*(density_ratio - 1)/density_ratio

Hugoniota dla gazu:

Eq. 3.4.3.1-9

    v_1 = [p_0*v_0*(gamma + 1) + p_1*v_0*(gamma - 1)]/
          [p_0*(gamma - 1) + p_1*(gamma + 1)]

oraz:

Eq. 3.4.3.1-10

     D^2 = v_0^2 * (p_1 - p_0)/(v_0 - v_1)

Wykres izentropy i Hugonioty:

Hugoniota gazu doskonałego

Przykład dla uranu:

Dane Hugonioty dla uranu

3.4.3.2 Fala detonacyjna

Fala detonacyjna to fala uderzeniowa w materiale wybuchowym podtrzymywana przez energię reakcji chemicznej. To właśnie zdolność podtrzymania takiej fali definiuje „wysoki materiał wybuchowy”.

Przykładowe prędkości detonacji:

HMX        9110 m/s
RDX        8700 m/s
PETN       8260 m/s
Comp B     7920 m/s
TATB       7760 m/s
DATB       7520 m/s
TNT        6640 m/s
Baratol    4870 m/s
Boracitol  4860 m/s
Plumbatol  4850 m/s

Schemat profilu fali detonacyjnej:

Profil fali detonacyjnej

3.4.3.3 Liniowe równanie stanu dla sprężania falą uderzeniową

Bardzo użytecznym przybliżeniem jest liniowe równanie stanu:

Eq. 3.4.3.3-1

     D = C + Su_p

gdzie C jest prędkością dźwięku przy zerowym ciśnieniu, a S stałą materiałową.

Daje ono:

Eq. 3.4.3.3-2

     rho/rho_0 = D/(D - u_p)

oraz:

Eq. 3.4.3.3-4

     rho/rho_0 = S/(S - 1)

co odpowiada zależności:

Eq. 3.4.3.3-6

     gamma = 2S - 1

Przykładowe parametry:

Li-6D         C=6590   S=1,09   rho_0=0,789
Beryl         C=7990   S=1,124  rho_0=1,845
UH3           C=2190   S=1,21   rho_0=10,92
Wolfram       C=4040   S=1,23   rho_0=19,24
Uran          C=2510   S=1,51   rho_0=18,93
Ołów          C=2050   S=1,52   rho_0=11,34
Złoto         C=3260   S=1,56   rho_0=19,24
Żelazo        C=3770   S=1,90   rho_0=7,84

3.5 Hydrodynamika promieniowania

Ta część dotyczy sytuacji, gdy promieniowanie nie tylko towarzyszy przepływowi, ale aktywnie go kształtuje.

3.5.1 Radiacyjne fale uderzeniowe

W radiacyjnej fali uderzeniowej promieniowanie z gorącego gazu za frontem podgrzewa materię przed skokiem hydrodynamicznym. To odróżnia je od klasycznych fal uderzeniowych.

Wyróżnia się cztery klasy:

  1. fale podkrytyczne,
  2. fale krytyczne,
  3. fale nadkrytyczne,
  4. fale zdominowane przez promieniowanie.

3.5.2 Fale podkrytyczne

W podkrytycznych falach radiacyjnych podgrzanie przedfrontowe jest wyraźne, ale mniejsze niż końcowa temperatura materii za frontem.

Fala podkrytyczna

Dla powietrza przy warunkach normalnych znaczenie promieniowania pojawia się przy około 50 000 K, co odpowiada prędkości fali 23 km/s. Warstwa podgrzania ma wtedy około 1 mm.

Ogólne prawo wiążące temperaturę i gęstość:

Eq. 3.5.2-1

     T/T_final = eta(1- eta)/(eta_final * (1 - eta_final))

W zakresie bez dominacji promieniowania:

Eq. 3.5.2-2

     T_final =  (2*(gamma - 1)*rho*D^2)/(n*k*(gamma + 1)^2)

3.5.3 Fala krytyczna

Przy sile krytycznej temperatura podgrzania osiąga temperaturę końcową fali. Strumień radiacyjny i hydrodynamiczny stają się porównywalne.

Fala krytyczna

W powietrzu przy STP dzieje się to przy około 285 000 K i 88,1 km/s. To właśnie ten moment odpowiada hydrodynamicznemu przejęciu napędu ekspansji wczesnej kuli ognistej wybuchu jądrowego.

3.5.4 Fale nadkrytyczne

W nadkrytycznych falach główny transport energii odbywa się przez prowadzącą falę Marshaka, a większość energii zostaje dostarczona jeszcze przed hydrodynamicznym skokiem.

Fala nadkrytyczna

Maksymalna temperatura za frontem:

Eq. 3.5.4-1

    T_shock = T_final * (3 - gamma)

To ta klasa fali odpowiada za pierwszy błysk wybuchu jądrowego.

3.5.5 Fale zdominowane przez promieniowanie

W bardzo silnych falach uderzeniowych energia i ciśnienie promieniowania przewyższają wkład gazu. W praktyce jest to fala w gazie fotonowym, z gamma = 4/3, więc maksymalne sprężenie wynosi 7.

Fala zdominowana przez promieniowanie

Prędkość takiej fali:

Eq. 3.5.5-1

     D_rad^2 = ((4*sigma/3*c)*T^4 + nkT)/(rho*(1 - eta_max))

Prędkość dźwięku w takim ośrodku:

Eq. 3.5.5-2

     c_s_rad = [gamma*((4*sigma/3*c)*T^4 + nkT)/rho]^0.5

W temperaturach rdzeni bomb rozszczepieniowych i paliwa fuzyjnego taki transport energii jest normalnym sposobem przekazywania energii przez materię wewnątrz broni.

3.5.6 Fale cieplne z przepływem hydrodynamicznym

Jeśli promieniowanie ogrzewa materię dostatecznie długo, wytwarzane gradienty ciśnienia mogą same wywołać falę ściskania lub szok. Dla napędu o temperaturze rosnącej jak:

Eq. 3.5.6-1

T_0 = constant * t^q

zachodzą zależności:

Eq. 3.5.6-2

     x ~ t^((n*q + 1)/2)
Eq. 3.5.6-3

     dx/dt ~ t^((n*q - 1)/2)
Eq. 3.5.6-4

     D ~ t^(q/2)

Z analizy wynika, że zależnie od q i n, to albo fala cieplna ucieknie przed szokiem, albo szok dogoni i wyprzedzi falę cieplną.

3.6 Fale uderzeniowe w układach niejednorodnych

Komponenty broni jądrowej są małe, więc fale uderzeniowe niemal zawsze docierają do granic ośrodków. Najważniejsza własność materiału dla zachowania szoku to gęstość, więc wyróżnia się dwa przypadki:

  1. przejście do materiału o mniejszej gęstości,
  2. przejście do materiału o większej gęstości.

Na granicy muszą być zachowane:

  1. równość ciśnień po obu stronach,
  2. równość prędkości cząstek po obu stronach.

3.6.1 Fale uwolnienia

Gdy fala uderzeniowa dochodzi do granicy z materiałem rzadszym, powstaje fala rozprężna. W granicznym przypadku wolnej powierzchni, czyli styku z próżnią, sprężony materiał zaczyna natychmiast się rozprężać.

W gazie prędkość ucieczki wynosi:

Eq. 3.6.1.1.1-1

     u_escape = (2*c_s)/(gamma - 1)

W układzie, gdzie materiał początkowo był w spoczynku:

Eq. 3.6.1.1.1-2

     u_escape = (2*c_s)/(gamma - 1) + u_particle

Prędkość tylnej krawędzi fali uwolnienia:

Eq. 3.6.1.1.1-3

     v_release = u_particle - c_s

Dla ciała stałego pojawia się dodatkowo wytrzymałość na rozciąganie i zjawisko spallingu, czyli odrywania fragmentów wskutek naprężeń rozciągających.

3.6.1.2 Odbicie fali uderzeniowej

Przy przejściu do materiału gęstszego fala odbija się, zwiększając ciśnienie i entropię w pierwszym ośrodku, ale zmniejszając jego prędkość. W granicznym przypadku sztywnej granicy ciśnienie się podwaja, a prędkość cząstek spada do zera.

3.6.2 Zderzenia poruszających się ciał

Zderzenie dwóch płyt generuje fale uderzeniowe, które muszą natychmiast zmienić prędkości powierzchni kontaktu tak, by względna prędkość w miejscu zetknięcia była zerowa. Dla płyt identycznych i symetrycznych każda fala nadaje prędkość cząstkom równą połowie prędkości zderzenia.

W zderzeniach materiałów o różnej impedancji sytuacja komplikuje się: niższa impedancja oznacza większe przyspieszenia i silniejsze wtórne kompresje przy wielokrotnych odbiciach. To ważny mechanizm w wielowarstwowych układach implozyjnych.

3.6.3 Zderzenia fal uderzeniowych

Przy zderzeniu czołowym nie pojawiają się nowe trudności - stosuje się te same warunki zgodności ciśnień i prędkości. Przy zderzeniu ukośnym pojawia się natomiast efekt Macha: przy dostatecznie dużym kącie powstaje nowy front, tzw. Mach stem, a ciśnienia chwilowo rosną bardzo silnie.

3.6.4 Ukośne zderzenia ciał

Jeśli zderzają się ukośnie dwa ciała w próżni, zamiast klasycznego Mach stem może powstać bardzo szybki strumień materiału, czyli efekt Monroe lub shaped charge. To użyteczne w broni kumulacyjnej, ale w implozji jądrowej jest zjawiskiem niepożądanym.

3.7 Zasady implozji

Implozja oznacza gwałtowne ściskanie do wewnątrz. Może być adiabatyczna albo szokowa, a geometria kompresji może być jedno-, dwu- lub trójwymiarowa.

3.7.1 Geometrie implozji

Jednowymiarowa kompresja:

Eq. 3.7.1-1

     rho_1/rho_0 = r_0/r_1

Cylindryczna:

Eq. 3.7.1-2

     rho_1/rho_0 = (r_0/r_1)^2

Sferyczna:

Eq. 3.7.1-3

     rho_1/rho_0 = (r_0/r_1)^3

To właśnie implozja sferyczna daje najszybszą kompresję i dlatego jest najważniejsza w konstrukcjach broni jądrowej.

3.7.2 Klasy procesów implozyjnych

Na jednym krańcu mamy powolne, jednorodne sprężanie adiabatyczne, które nie zwiększa entropii i w zasadzie pozwala osiągać dowolnie duże kompresje. Na drugim krańcu jest sprężanie szokowe, z natychmiastowym wzrostem ciśnienia i nieuniknionym wzrostem entropii, a więc z ograniczonym maksymalnym sprężeniem.

3.7.3 Zbieżne fale uderzeniowe

To najbardziej oczywista droga do implozji i pierwsza rozwinięta historycznie. Za falą zbieżną ruch materii też jest skierowany do środka, więc po sprężeniu szokowym występuje jeszcze faza dodatkowego sprężania adiabatycznego, gdy energia kinetyczna przepływu zamienia się w energię wewnętrzną.

W teorii prędkość, ciśnienie i temperatura takiej fali rosną bez ograniczeń przy zbliżaniu się do środka, choć całkowita energia skupiona w samym froncie maleje, bo powierzchnia frontu maleje do zera.

Dla zbieżnej implozji istotny jest parametr alpha zależny od geometrii i gamma. Dla sferycznej implozji i gamma = 3 mamy alpha = 0,638.

Prędkość frontu:

Eq. 3.7.3-1

     V = K1*r^[(alpha-1)/alpha]

Dla uranu w geometrii sferycznej:

Eq. 3.7.3-2

     V_Usphere = K1*r^(-0.567)

Ciśnienie za frontem:

Eq. 3.7.3-3

     P = K2*r^[2*(alpha-1)/alpha]

Dla tego samego przypadku:

Eq. 3.7.3-4

     P_Usphere = K2*r^(-1.134)

Czas dojścia frontu do środka:

Eq. 3.7.3-4

     t_c = (r_0/V_0)*alpha

Położenie frontu:

Eq. 3.7.3-5

     r(t) = (t_c - t)^alpha * K3

Przybliżenia pokazują, że dla gamma = 5/3 maksymalna gęstość po zbieżnej implozji może sięgać około 9,47 razy gęstości początkowej nawet bez uwzględnienia dodatkowego wzrostu sprężenia od jonizacji.

Po dojściu do środka może powstać odbita fala wychodząca, dająca jeszcze większe lokalne zagęszczenie przy froncie odbitym. Z praktycznego punktu widzenia znaczenie takiego maksimum zależy od skali procesu fizycznego: dla syntezy lokalna gęstość jest ważna, dla reakcji rozszczepienia większe znaczenie ma gęstość uśredniona w skali średniej drogi swobodnej neutronów.

3.7.4 Zapadanie się powłok

Ważnym wariantem jest zapadanie cienkiej cylindrycznej albo kulistej powłoki. Można rozpatrywać:

  1. powłokę zadaną początkową prędkością, bez dalszych sił zewnętrznych,
  2. powłokę początkowo nieruchomą, ściskaną przez zewnętrzne ciśnienie.

W obu przypadkach może to służyć do utworzenia zbieżnej fali z odbiciem.

3.7.5 Metody skrajnej kompresji

Realne materiały mają ograniczoną ściśliwość. Dla uranu gamma przy zerowym ciśnieniu wynosi około 2,9, ale maleje z ciśnieniem. Sprężenie rzędu 2,05 osiąga się około 7 megabarów, co jest już blisko praktycznych granic implozji wysokim materiałem wybuchowym.

Aby iść wyżej, pozostają dwie drogi:

  1. wiele kolejnych fal uderzeniowych,
  2. sprężanie adiabatyczne.

Jeśli wzrost ciśnienia podzieli się na kilka kroków szokowych, straty entropijne maleją dramatycznie. Dla przykładowego sprężania Li-6D do 10 000 megabarów, pięć kroków szokowych przechwytuje już większość tego, co dałoby idealne sprężanie adiabatyczne.

Przykładowa tabela:

Tabela 3.7.5-1. Sprężenie całkowite a liczba kroków szokowych

n         rho_final/rho_1
1         3,92
2        10,07
3        15,20
4        18,26
5        20,05
10       22,92
25       23,84
50       23,98
infinity 24,00

W praktyce oznacza to, że kilka dobrze zsynchronizowanych fal uderzeniowych może bardzo zbliżyć się do ideału adiabatycznego. W rzeczywistych układach termojądrowych do uzyskania odpowiedniej historii ciśnienia w czasie można wykorzystywać ekranowanie radiacyjne, pusher, bufory impedancyjne, wielowarstwowe odbicia szoków i modulowanie produkcji energii w pierwszym stopniu.

Ważna jest też wspomniana wcześniej kompresja jonizacyjna: przy bardzo silnej jonizacji gęsty materiał wysoko-Z może sam z siebie sprężać sąsiadujący materiał lekki.

3.8 Niestabilności

Niestabilności pojawiają się, gdy siła działa na granicy płynów lub plastycznie zachowujących się warstw. Niewielkie zaburzenia rosną z czasem, a ponieważ idealnie gładkie i idealnie symetryczne układy nie istnieją, pytanie brzmi nie „czy”, lecz „jak szybko”.

3.8.1 Niestabilność Rayleigha-Taylora

To klasyczna niestabilność, gdy gęstszy płyn naciska na lżejszy. Wzrost zaburzeń jest wykładniczy:

Eq. 3.8.1-1

     P = e^t*[a*k*(rho_1 - rho_2)/(rho_1 + rho_2)]^0.5

gdzie a jest przyspieszeniem, k liczbą falową zaburzenia, a rho_1, rho_2 gęstościami obu płynów.

W konstrukcjach jądrowych problem może się pojawić podczas adiabatycznej fazy implozji albo podczas późniejszego ruchu pushera i paliwa fuzyjnego. W czystej kompresji szokowej znaczenie tej niestabilności jest jednak ograniczone przez bardzo krótkie skale czasowe.

3.8.2 Niestabilność Richtmyera-Meshkova

W odróżnieniu od Rayleigha-Taylora, ta niestabilność pojawia się właśnie przy przejściu fali uderzeniowej przez nieregularny interfejs dwóch ośrodków o różnej gęstości. Zaburzenia frontu rosną liniowo z czasem, a przy zbieżnych falach uderzeniowych mogą poważnie psuć symetrię implozji.

3.8.3 Niestabilność Helmholtza

Pojawia się przy przepływie ścinającym wzdłuż interfejsu dwóch płynów. Niewielkie zafalowania rosną, zawijają się i tworzą wiry mieszające oba ośrodki. W implozji może to być wtórny efekt wcześniejszych zaburzeń, odbić i załamań fal uderzeniowych.