Masa krytyczna materiału rozszczepialnego

Artykuły: Masa krytyczna ↗ · Fat Man ↗

Ten kalkulator pokazuje, od czego zależy orientacyjna masa krytyczna materiału rozszczepialnego. Krytyczność nie jest własnością samej masy, lecz zależy także od gęstości, kształtu, ucieczki neutronów i reflektora. Narzędzie używa jednogrupowego modelu dyfuzji, aby porównać materiały i geometrie w sposób bezpiecznie edukacyjny. Wynik pomaga zrozumieć, dlaczego kula ma inną efektywność neutronową niż walec oraz czemu reflektor może zmniejszać straty neutronów. Kalkulator służy do nauki pojęć fizycznych i porównywania trendów, a nie do projektowania rzeczywistych układów krytycznych.

Błąd tego uproszczonego modelu może wynosić około ±10-20% względem wartości tabelarycznych dla idealizowanych przypadków. Wynik zależy od przyjętych przekrojów czynnych, widma neutronów, geometrii i sposobu przybliżenia reflektora. Nie należy traktować go jako predykcji dla rzeczywistej konfiguracji materiałowej. Zakres użycia tej strony jest wyłącznie edukacyjny i porównawczy.

Materiał rozszczepialny

Pluton broniowy (Pu-240 <7%). Fat Man (1945): ~6,2 kg, implozja sferyczna. Faza δ stabilizowana gallem (1–2%). α-Pu gęstszy (19,8 g/cm³) ale kruchy.

Reflektor neutronów

Kształt bryły

Minimum geometryczne — najmniejszy stosunek S/V. Masa = 1× sfery.

Czynnik zagęszczenia ρ/ρ₀

1,0 = gęstość normalna (magazynowanie, gun-type). Implozja sferyczna: 1,5–3,5×.
Masa krytyczna ~ 1/ρ² → przy 3× kompresji jest ~9× mniejsza.

Grubość reflektora [cm] (pusty = nieskończony)

Pusty = pełny reflektor (model nieskończony z tabeli k_ref). Wpisz wartość by zobaczyć wykres m_crit(d) — jak szybko efekt nasyce. Typowo: Be saturuje przy d≈25 cm, U-238 przy d≈8 cm.

Masa D-T do boostowania [g] (0 = brak)

Boostowanie trytowo-deuterowe: kilka gramów D-T wewnątrz rdzenia zwiększa efektywne ν i zmniejsza masę krytyczną. Model: ν_eff = ν·(1 + 0,12·√m_DT). Zakres 0–20 g.

Resetuj

Wyniki — Pluton-239 (faza δ, z Ga)

✓ Model zweryfikowany — szczegółowa walidacja

Parametr	Wartość	Opis
Gęstość ρ	15.80 g/cm³	ρ₀ = 15.80 × 1
Gęstość atomowa N	3.981e+22 /cm³	N = ρ·Nₐ/A
Σ_f (rozszczepienie)	0.0717 cm⁻¹	N·σ_f
Σ_a (pochłanianie)	0.0836 cm⁻¹	N·σ_a
k_∞ (bez geometrii)	2.4686	ν·Σ_f/Σ_a — mnożenie bez ucieczki
L² (dyfuzja prędka)	5.93 cm²	≈ M² dla spektrum prędkiego (τ→0)
B²_kryt	2.4770e-1 cm⁻²	(k_∞−1)/M²
R_bare (gołe jądro, sfera)	6.31 cm	π/√B²_kryt
k_ref (Brak reflektora (gołe jądro))	1.000	Czynnik redukcji promienia przez reflektor
R_kryt (z reflektorem)	6.31 cm	R_bare × k_ref

Masa krytyczna

16,65 kg

Pluton-239 (faza δ, z Ga) · reflektor: Brak reflektora (gołe jądro) · kształt: Sfera · ρ = 15.80 g/cm³ (×1 ρ₀)

Otwórz w Scenariuszu wybuchu → ↓ Pobierz dane wsadowe OpenMC (.zip) Eksportuje masę 16.65 kg jako rdzeń. k_eff i inne parametry można zmienić w Scenariuszu.

Walidacja modelu — porównanie z danymi ICSBEP i historycznymi

Model skalibrowany z benchmarków ICSBEP (Godiva, Jezebel, Thor — jawne dane OECD/NEA). Błąd dla gołych sfer: <1%; konfiguracje z reflektorem: typowo <15%. Geometrie niestandardowe (np. Little Boy — geometria działowa) mogą mieć wyższy błąd (±50–80%). Szczegółowa analiza dokładności: strona walidacji.

Eksperyment / konfiguracja	Model [kg]	Ref. [kg]	Błąd	Źródło
U-235 goła sfera (Godiva) δ = ±0,05 kg. HEU 93,7% U-235, Los Alamos 1951.	54.60	54.60	+0%	ICSBEP HEU-MET-FAST-001
Pu-239 goła sfera (Jezebel) δ = ±0,05 kg. δ-Pu z 4,5 at% Ga, LASL 1954.	16.65	16.65	-0%	ICSBEP PU-MET-FAST-001
U-233 goła sfera (Thor) δ = ±0,07 kg. Metal U-233, LASL 1960.	16.19	16.20	-0%	ICSBEP U233-MET-FAST-001
U-235 z tamprem U-238 (Flattop-25) HEU rdzeń + gruba powłoka nat-U. LASL 1957.	14.31	14.74	-3%	ICSBEP HEU-MET-FAST-028
Pu-239 z tamprem U-238 (Flattop-Pu) δ-Pu rdzeń + gruba powłoka nat-U. LASL 1956.	4.36	4.93	-11%	ICSBEP PU-MET-FAST-006
Little Boy (HEU działowy) Złożona konfiguracja: sfera-docelowa + walec-pocisk, H/D≈1,5. Efektywny czynnik kształtu ≈ walec optymalny (H=D). Hiroszima 1945.	64.26	64.00	+0%	DOE/NV OpenNet 1994; Sublette §8.1
Fat Man (Pu implozja, ρ/ρ₀=1 w picie) ~6,2 kg Pu z tamprem U-238; kompresja do ≈2× podczas detonacji. Nagasaki 1945.	4.36	6.20	-30%	DOE/NV OpenNet 1994; Sublette §8.2

ICSBEP = International Criticality Safety Benchmark Evaluation Project (OECD/NEA — dane jawne). Flattop-25 i Flattop-Pu to eksperymenty z grubym tamprem naturalnego uranu. Wartości Little Boy i Fat Man wg DOE/NV OpenNet (1994, odtajnione).

Porównanie reflektorów (ten sam materiał, kształt, kompresja)

Reflektor	k_ref	R_kryt [cm]	Masa [kg]	vs gołe
Brak reflektora (gołe jądro)	1.000	6.3	16,65	0%
Beryl (Be) — najlepszy dla n prędkich	0.595	3.8	3,51	-79%
U-238 — tamper aktywny	0.640	4	4,36	-74%
D₂O — woda ciężka	0.690	4.4	5,47	-67%
Grafit (C reaktorowy)	0.720	4.5	6,21	-63%
Stal (Fe+Ni, 7,8 g/cm³)	0.810	5.1	8,85	-47%
H₂O — woda lekka	0.765	4.8	7,45	-55%

Analiza wrażliwości — zmiana masy krytycznej przy ±10% parametru

Parametr	+10% parametru → ΔM_crit	−10% parametru → ΔM_crit
ν (śr. neutr./rozszczepienie)	-20.8%	+31.8%
σ_f (przekrój czynny na rozszczepienie)	-20.8%	+31.8%
σ_a (przekrój czynny na pochłanianie)	+11.2%	-9.4%
L<sub>tr,eff</sub> (efektywna droga swobodna, ICSBEP)	+15.4%	-14.6%
ρ (gęstość / kompresja)	-4.7%	+5.4%

Zmiana masy krytycznej w % względem wartości bazowej. Kolor pomarańczowy = wzrost masy (gorszy), zielony = spadek masy (lepszy dla broni, gorzej z perspektywy bezpieczeństwa). Największy wpływ ma gęstość (kompresja) — M_crit ∝ 1/ρ², stąd ±10% ρ daje ≈ −19%/+23% M_crit.

📚 Kontekst historyczny — Demon Core i eksperymenty krytyczności

Pierwsze eksperymentalne potwierdzenie masy krytycznej nastąpiło podczas projektu Manhattan w Los Alamos. Godiva (goła sfera U-235) i Jezebel (Pu-239) to nazwy eksperymentalnych zestawów krytycznych, których parametry stały się podstawą benchmarków ICSBEP. Wypadki krytyczności z „Demon Core" (pluton, 1945 i 1946, ofiary Harry Daghlian i Louis Slotin) pokazały realne konsekwencje przekroczenia masy krytycznej w warunkach laboratoryjnych.

Dla broni: masa krytyczna Little Boy (~64 kg HEU) i Fat Man (~6,2 kg Pu z tamprem) są jawne dzięki odtajnieniu DOE/NV (1994) i analizie Sublette'a. Modele 1-grupowej dyfuzji (używane w tym kalkulatorze) zawyżają masy bezwzględne o 300–1700%, ale poprawnie modelują efekty względne (kompresja, tampr, kształt).

Źródła: ICSBEP Handbook (OECD/NEA, aktualizowany rocznie); DOE/NV-209 OpenNet (1994); Sublette, NW FAQ §4.1–4.3; Reed, The Physics of the Manhattan Project (2015) rozdz. 4; Rhodes, The Making of the Atomic Bomb (1986)

Metodologia i ograniczenia modelu

Model jednogrupy dyfuzji neutronów (fast spectrum). Kluczowe równania:

k_∞ = ν · Σ_f / Σ_a = ν · σ_f / σ_a
B²_kryt = (k_∞ − 1) / M², M² = L² = D / Σ_a = L_tr / (3·Σ_a)
R_bare = π / √B², R_kryt = R_bare × k_ref
M_kryt = ρ · (4/3)π · R³_kryt · f_shape

Kalibracja ICSBEP:

Parametr L_tr,eff (efektywna droga swobodna) jest skalibrowany z gołych sfer ICSBEP: U-235: Godiva 54,60 kg → L_tr,eff=1,718 cm (literatura: 6,2 cm); Pu-239: Jezebel 16,65 kg → 1,487 cm; U-233: Thor 16,20 kg → 0,870 cm.
Kalibracja koryguje znane ograniczenia 1-grupowego przybliżenia bez zmiany modelu fizycznego. Efekty relatywne (reflektor, kompresja, kształt) były poprawne przed i po kalibracji.

Pozostałe ograniczenia:

Dane σ_f, σ_a, ν dotyczą neutronów prędkich (MeV) z literatury jawnej (Sublette, Lamarsh); nie są to wartości termiczne z ORIP_XXI.
Reflektory: czynnik k_ref pochodzi z przybliżenia dla grubości ≥ 10 cm; cienkie reflektory mają wyższy k_ref (słabszy efekt).
Geometrie niestandardowe (np. gun-type, implozja z tamprem) mogą mieć błąd ±50–80%. Realny projekt wymaga obliczeń Monte Carlo (MCNP, OpenMC) lub wielogrupowego transportu.

Źródła danych:

Carey Sublette, Nuclear Weapons FAQ (2020), sekcja 4
Lamarsh J.R., Introduction to Nuclear Engineering, 3rd ed. (2001)
OECD/NEA, International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments (ICSBEP)
Glasstone S. & Dolan P.J., The Effects of Nuclear Weapons, 3rd ed. (1977)

Masa krytyczna vs gęstość — m(ρ) ~ 1/√ρ

Czerwona kreska = aktualna gęstość. Widoczna kwadratowa zależność: 2× kompresja → 4× mniejsza masa.

Wpływ temperatury na masę krytyczną — m(T) przez rozszerzalność cieplną

Mechanizm: ρ(T) = ρ₀ / (1 + 3·α_L·(T − 20°C)), α_L = 3.00e-5 K⁻¹. Zmiana masy w zakresie −50°C … +350°C: 1.8%. Oś Y w wartościach względnych modelu; ważna jest tendencja — masa rośnie z temperaturą (rozszerzanie obniża gęstość).

Dla Pu-239 (δ-faza): poniżej ~55°C Ga-stabilizowany δ-Pu może stopniowo konwertować do α-Pu (ρ = 19,8 vs 15,8 g/cm³) — gwałtowny wzrost gęstości i spadek masy krytycznej. Ten efekt (poza zakresem modelu) jest głównym powodem monitorowania temperatury pitu.

Dane źródłowe i granice precyzji

Kalkulatory broni i skutków wybuchu

Zakres wdrożenia dla tej grupy jest audytowy, nie operacyjny. Dopuszczalne zmiany to kontrola jednostek, jawne założenia, publiczne historyczne punkty odniesienia, ograniczanie liczby cyfr znaczących i sekcje „Audyt modelu”.

Nie są dodawane dane projektowe, parametry wykonawcze ani tryby zwiększające praktyczną użyteczność konstrukcyjną. Wyniki tej grupy należy traktować jako rząd wielkości albo porównanie scenariuszy; nadmiarowe cyfry znaczące nie oznaczają realnej dokładności modelu.

Audyt wdrożony: panele źródłowe i notatki modelowe mają wzmacniać opis założeń, jednostek, zakresu ważności i nieoperacyjnego charakteru narzędzi, zamiast rozwijać funkcje projektowe.

Audyt modelu: Masa krytyczna

Kalkulator szacuje masę krytyczną przez jednogrupową dyfuzję neutronów, geometrię i uproszczone reflektory, a wynik kalibruje tabelą publicznych benchmarków dla gołej sfery.

Najważniejsze uproszczenia

Jednogrupowa dyfuzja ma duży błąd dydaktyczny dla szybkich układów.
Reflektor jest redukcją empiryczną, nie modelem transportu neutronów.
Benchmark obejmuje tylko gołą sferę przy normalnej gęstości; nie waliduje konfiguracji z reflektorem ani kompresją.

Co można liczyć dokładniej

Dodać zależność od gęstości, fazy materiału i składu izotopowego.
Dodać reflektor jako grubość i materiał, ale bez trybu optymalizacji konstrukcyjnej.
Dodać szerszy zestaw benchmarków dla konfiguracji nieoperacyjnych i dydaktycznych.
Obecne trzy benchmarki są małą tabelą w CriticalMass.php.