Walidacja — rozkład Plancka
Prawo Wiena, katastrofa UV, granica Rayleigha-Jeansa, λmax Słońca i ciała ludzkiego.
✓
10/10 asercji zdanych
Walidacja: ✓ ZALICZONA
Obliczono: 2026-07-08 02:28:12 UTC · PHP 8.1.2-1ubuntu2.24
Niezmienniki fizyczne
| Stan | Asercja | Wynik | Oczekiwane |
|---|---|---|---|
| ✓ | Prawo Wiena: T_Słońca=5778K → λ_max=501.5 nm b = λ_max·T = 2.897771955×10⁻³ m·K (NIST CODATA 2018). Słońce: λ_max ≈ 501 nm. |
501,5182 nm | 501,5 nm |
| ✓ | λ_max maleje z temperaturą (3000→6000→12000 K) Prawo Wiena: λ_max = b/T — odwrotna proporcjonalność. |
241,481 nm < 482,962 nm < 965,924 nm | rosnąca kolejność |
| ✓ | 2× T → λ_max/2 (Wienowska proporcja) λ_max ∝ 1/T: T(6000)/T(3000) = 2 → λ_max(6000)/λ_max(3000) = 0.5. |
0,5 | 0,5 |
| ✓ | Radiancja Plancka > 0 dla T=300K, λ=10000nm Ciało ciepłe (300K) promieniuje w podczerwieni (λ~10μm). |
9.924e+6 W/m³/sr | > 0 |
| ✓ | Wyższa T → wyższa radiancja (λ=966nm) Im wyższa temperatura, tym wyższa radiancja spektralna dla tej samej λ. |
B(6000K)=1.29e+13 > B(3000K)=9.95e+11 W/m³/sr | B(6000K) > B(3000K) |
| ✓ | Rayleigh-Jeans/Planck ratio > 1 w UV (katastrofa UV) W UV i krótszych λ: Rayleigh-Jeans → ∞, Planck → 0 (katastrofa UV zażegnana przez kwantyzację). |
R-J/Planck = 1082360938.423 | > 1 |
| ✓ | Rayleigh-Jeans ≈ Planck w dalekiej IR (λ=100μm) Granica klasyczna: gdy hν≪k_BT (długie fale), R-J i Planck są zgodne. |
R-J/Planck = 1.0121 | ≈ 1.0 |
| ✓ | λ_max(Słońca=5778K) w paśmie widzialnym Słońce: T≈5778K → λ_max≈501nm (zielony) — w centrum pasma widzialnego. |
501.5 nm | 380–780 nm |
| ✓ | λ_max(ciało ludzkie=310K) ≈ 9350 nm (IR) T=310K → λ_max = 2897/310 ≈ 9350 nm (thermografia IR). |
9348 nm | 8000–10000 nm |
| ✓ | Wykładnik x=hν/k_BT przy λ_max: x ≈ 4.965 (Wienowskie optimum) Maksimum rozkładu Plancka spełnia: xe^x/(e^x−1) = 5 → x ≈ 4.965 (Wien 1896). |
4,9653 | 4,965 |
Porównanie z benchmarkami
Benchmarki obejmują znane punkty prawa Wiena oraz dwie granice porównania Plancka z przybliżeniem Rayleigha-Jeansa.
| Benchmark | Wynik modelu | Punkt odniesienia | Ocena |
|---|---|---|---|
| Prawo Wiena dla Słońca To najbardziej intuicyjny punkt kontrolny: ciało o temperaturze fotosfery słonecznej ma maksimum w paśmie widzialnym. |
λmax = 501.52 nm | 2,897771955e6 nm K / 5778 K = 501,5 nm | ✓ doskonały (≤5%) |
| Prawo Wiena dla temperatury ciała Drugi punkt Wiena pokazuje skalę termowizji: maksimum przechodzi z widzialnego do średniej podczerwieni. |
λmax = 9348 nm | około 9350 nm dla 310 K | ✓ doskonały (≤5%) |
| Wienowskie maksimum w zmiennej x=hν/kBT Ten benchmark sprawdza nie tylko λmax, ale też bezwymiarową postać równania Plancka. |
x = 4.9653 | x ≈ 4,965 | ✓ doskonały (≤5%) |
| Katastrofa ultrafioletowa w przybliżeniu Rayleigha-Jeansa W krótkich falach klasyczne przybliżenie dramatycznie zawyża radiancję, co historycznie wymagało kwantyzacji energii. |
R-J/Planck = 1.082e+9 dla 6000 K i 100 nm | stosunek znacznie większy od 1 | ✓ doskonały (≤5%) |
| Granica klasyczna w dalekiej podczerwieni Ten punkt potwierdza, że model nie odrzuca przybliżenia klasycznego tam, gdzie powinno działać. |
R-J/Planck = 1.0121 dla 100 µm | około 1,0 gdy hν << kBT | ✓ doskonały (≤5%) |
| Radiancja rośnie z temperaturą przy tej samej długości fali To podstawowa kontrola monotoniczności spektralnej radiancji dla wybranej długości fali. |
B(3000 K)=9.952e+11; B(6000 K)=1.291e+13 | B(6000 K) > B(3000 K) | ✓ doskonały (≤5%) |
Kontekst metodologiczny:
Walidacja obejmuje punkty, które użytkownik może rozpoznać fizycznie: maksimum widma Słońca, maksimum emisji ciała ludzkiego, parametr Wiena oraz zachowanie klasycznego przybliżenia w UV i dalekiej podczerwieni. To lepsze niż samo stwierdzenie, że wzór zwraca dodatnie liczby.
Zakres walidacji
Sprawdzone: prawo Wiena (b=2897.77 nm·K, NIST CODATA), katastrofa UV, granica R-J, λ_max Słońca i ciała ludzkiego, wykładnik Wienowski x≈4.965.